四点二次插值的单片机汇编程序实现
四点二次插值的单片机汇编程序实现在微机化的仪器仪表控制软件中，特别是快速控制软件中，或因直接计算过于复杂，或因只有经验数据没有理论公式，常采用查表插值法计算某些数据。
一般适合于插值法的函数是光滑性较好的函数。所谓“光滑性较好”是指以下两个方面：
◆连续且尽量高阶地可导：
◆其泰勒展开式中高次项的绝对值较小。
采用多项式插值时，若提高多项式次数，除了增加计算量(在高速实时控制的程序中，计算速度是很重要的问题)外，从数学上看还有若干缺点，故实际应用中一般不用太高的次数。抛物线插值(三点二次插值)是常用的一种。
提高精度的另一途径是增加节点密度。对于三点二次插值，节点密度若能提高二倍，则截断误差大约可以缩小到原来的1／8。但是这样一来数据表的容量也要加大二倍，因此在容量和精度间存在着矛盾。
本文介绍一种“四点二次插值”算法，与普通三点=次插值相比，节点密度不变，计算量也差不多，但精度(最大误差限)大致相当于节点密度提高二倍的效果。
四点二次插值的思想是：计算(xk,xk+1)区间的插值时，用(xk-1,xk,)的三点二次插值结果和(xk,xk+1)的三点二次插值结果相平均，作为最后结果。若采用等距节点，间距为h，根据这个思想，不难推出以下计算公式：
与普通的三点二次插值法对比，可以看出计算量差不多(乘法次数相同，除以4可以用移位实现)。
下面粗略分析其精度。
二次插值误差余项应有三个零点，此法中xk和k+1是其两个零点。显然，如果第三个零点在x1和xk+1的中点处，则其精度和节点密度提高二倍后的三点二次插值法相同。
设(xk-1,xk，xk+1)的三点二次插值误差余项为R1(x)，(xk,xk+1xk+2)的三点二次插值误差余项为R2(x)则四点二次插值的误差余项为
系数K(ξ1′,ξ2)反映中点xm处四点二次插值的误差，比原来三点二次插值的误差减小的程度。若f‘‘‘(x)是常数，则k(ξ1，ξ2)=0，因而R(xm)=0。也就是说，R(z)第三个零点在xm处，达到上文所述的效果。
对于比较光滑的函数，f‘‘‘(x)在小区间内不会变化太大，故k(ξ1,ξ2)式中的分子绝对值应较小。若K(ξ1，ξ2)近于0，则R(xm)也近于0，R(x)的零点仍在xm附近，效果与上述接近。可以证明(限于篇幅．证明略)，只要f‘‘‘(ξ1)与f‘‘‘(ξ)之比在O.5～2之间，则第三个零点必然在xk和xk+1之间。
若K(ξ1,)绝对值较大即f‘‘‘(ξ2)与f‘‘‘(ξ2)之比距1较远)，或，f‘‘‘(ξ1)与，f…(ξ2)反号，则零点不在中点附近，此时精度并没有明显提高，但不会比原来的情况差。这必然是K(ξ1,ξ2)式中的分母绝对值太小，也就是说，是处在，f‘‘‘(x)过零或近于零的区域。
对于较光滑的函数，原三点二次插值法的截断误差大致正比于其三阶导数，因此三阶导数较大的区域也是精度最差的区域。f‘‘‘(x)过零或近于零的区域中，误差本来就远小于其它区域。综上所述，四点二次插值法与之相比，在三阶导数较大的区域，精度大致改进到相当于节点密度提高二倍后的三点二次插值法；在三阶导数近于0的区域，则不会比原来三点二次插值法差。从实用的角度，可以说已经实现了上文所说的效果。
另外，还可以指出，这个算法中的v1、v2都是由数据表中相邻项的差值产生的，绝对值常常较小，故乘法常可以采用低精度乘。这一点在以较低档的微处理器构成的应用系统中是有实际意义的。如下面AVR单片机的程序中，结果是双字节精度，但其中乘法为单字节。
下面将给出以MCS-96单片机汇编语言和AVR单片机汇编语言编写的程序实例。
实例中，取间隔h为2的整数幂。这样，定点形式的自变量只要采用简单的移位，即可以得出整数的k和纯小数的“，作为下列程序的入口参数。在MCS一96单片机的程序中，k和u均取双字节；在AVR单片机的程序例中，k和u均取单字节，但结果为双字节。
这是一个应用程序中用来查几种数据表的子程序。因为这些表都是增函数，故下面设计中认定“必为正”。表中相邻项的差，符合程序注释中的要求(特别是第二个例子vl、v2为单字节)，否则程序需要适当调整。
说明：以下y′、yO加、yl和y2即上文中的fxk-1)，f(xk)，f(xk+1)和f(xk+2)。 谢谢分享！:D
页:
[1]