基于超声多普勒方法的管道流量测量研究----管道流体流动的速度分布规律（一）
第二章管道流体流动的速度分布规律2.1引言
管道流体流动的速度分布规律问题可以归为粘性流体力学范畴。在粘性流体力学中，通过粘性把流动流体的应力与变形速率联系起来，即牛顿切应力公式：
式中τ是法线为y方向的平面上x方向的切应力，μ为流体的粘度。
如果流体的切应力与剪切变形速率符合式（2-1-1）的线性关系，则称为牛顿流体，切应力与剪切变形速率不成线性关系则称为非牛顿流体。非牛顿流体通常包括各类泥浆、矿浆、油脂、油漆、涂料、牙膏、血液等。
流体在管道中流动时，一般有层流和湍流两种流动状态。层流流动时，管内流体分层流动，各流层之间互不混杂而平行于管道轴线流动，流层间没有流体质点的相互交换，流体通过管道的压力降与流量成正比。湍流流动时，管内流体不再分层流动，流体质点除沿管道轴线方向运动外，还有激烈的径向运动，流体通过一段管道的压力降与流量的平方成正比。
判断管内流动是层流还是湍流的依据为雷诺数Re，定义如下：
式中um是流体管道截面上的平均速度，d是管道直径，υ为流体的运动粘度，且：
式中ρ是流体密度。
流体由层流向湍流转捩的雷诺数为临界雷诺数Rec，且Rec =2300。当Re<Rec时,即使存在对流体的强烈扰动，扰动也将因流体的粘度而衰减，体仍保持层流状态。当Re>Rec时流,流体为湍流状态。雷诺数在临界雷诺数附近的一个小范围内时，流动具有间歇性，可能时而为层流，时而为湍流。
本章主要分析管道流体的粘性流体力学特性，归纳了三种情况下的流体速度分布规律：牛顿流体充分发展管道层流、湍流以及幂律型非牛顿流体恒定管流，为超声多普勒流量测量的管道截面平均流速计算及修正提供了理论依据。
2.2粘性流体流动的基本方程
研究管道流体的运动规律需根据力学和热力学基本定律建立粘性流体力学的基本方程和本构方程，然后再根据不同的流体性质和流动状态给出相应的边界条件及初始条件，从而确定管道流体的速度分布规律。
粘性流体运动的基本方程式如下：
（1）连续方程：
式中u是速度矢量，▽为哈密顿算子，连续方程是质量守恒原理在流体运动中的表现形式。对于不可压缩流体，dρ/dt=0，且ρ≠0，所以不可压缩流体的连续方程可以简化为：
（2）动量方程：
动量方程是动量守恒原理在流体运动中的表现形式，式中fi为单位质量力，σji是应力张量，i ， j=1，2，3.方程（2-2-3）也可写成下面表达式：
（3）能量方程：
式中e为单位质量流体所具有的内能，p为流体静压强，Φ为粘性应力对剪切变形作的功（耗散功），Q为系统内单位体积流体热量的增量，q为热通量向量。能量方程是能量守恒原理在流体运动中的表现形式。
上面所述流体运动的三个基本方程中包含5个独立的方程式，但未知数有15个，导致方程组不封闭。下面将根据具体的情况建立把应力张量σij和变形速率张量eij联系起来的本构方程使得基本方程封闭。
（1）牛顿流体
斯托克斯对牛顿流体有几点假设：在静止流体中，切应力为零，正应力数值为流体静压强p；应力张量σij和变形速率张量eij之间为线性关系，流体是各向同性的。于是得到牛顿流体的本构方程为：
式中δij为单位张量，λ为第二粘度，由实验得到。
不可压缩流体▽u＝0，上式可以简化为：
对于牛顿流体，将本构方程（2-2-6）代入动量方程式（2-2-3）得到牛顿流体的运动方程，即纳维－斯托克斯方程（N-S方程）：
对于不可压缩流体，写成向量形式有：
式中▽2是拉普拉斯算子，在不同的坐标系中有不同的含义。
（2）非牛顿流体
非牛顿流体类型很多，且不同的类型具有不同的本构关系，本章主要介绍切应力与时间无关的幂律型非牛顿流体的一些特点，通常大多数泥浆、水泥浆和非稠油等可以近似为幂律型非牛顿流体。幂律型非牛顿流体的本构方程如下：
式中τ为偏应力张量，tr表示张量的迹，trA12等于A12张量对角线上三项之和，k，n为常数，由实验确定。
幂律流体的本构关系也可以表示为：
式中γ为简单切变率，且γ=du/dy,μ（γ）为表观粘度，可以通过简单剪切流动测定，表达式如下：
2.3牛顿流体管道层流速度分布规律
管道流体速度分布规律用圆柱坐标（r ，θ，x ）进行描述，当流动状态为层流时，圆柱坐标及流体的速度分布如图2-1所示：
假设流体是由压强梯度推动的单向定常平行流动，并且沿流动方向是均匀的，在圆周向轴对称，则ur=0 ，uθ=0，θ=0，t =0.
由式（2-2-2）得到不可压缩牛顿流体在圆柱坐标下的连续方程为：
即
根据式（2-2-9），得到圆柱坐标下的N-S方程:
再根据层流流动的假设条件，上面三式简化为：
边界条件为：
由（2-3-3）的前面两项得到压强p与坐标r和θ无关，仅是流向x的函数，即p = p（x），因此由（2-3-3）的最后一个方程式得有：
于是得到ux的微分方程：
积分求解上式，最终得到管道层流的速度分布规律为：
式中最大流速umax为管道中心轴线r =0处的流速，且：
流体管道截面上的平均流速um为：
管道层流的速度分布曲线如图2-2所示。
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