基于多普勒方法的管道流量测量研究----管道流体流动的速度分布规律(二)
2.4牛顿流体管道湍流速度分布规律湍流具有随机性质,湍流中的各种物理量均是随机函数,需要用统计的方法对湍流进行研究。通常湍流是各态遍历的,可以采用时间平均法处理湍流运动。
粘性流体流动的N-S方程和连续方程对于湍流的瞬时运动同样适用,与层流分析方法一样,在圆柱坐标下对管道湍流进行研究,并对式(2-3-1)取时间平均,得到圆柱坐标系中不可压缩流体的时间平均连续方程:
同样对圆柱坐标中的N-S方程取时间平均得到不可压缩流体湍流时均的运动方程,称为雷诺方程:
式中γ表示物理量γ的时间平均值,γ′表示物理量γ的脉动量,F表示质量力。为简化分析,忽略质量力F的影响,假设流动为充分发展的恒定湍流,流体轴对称,因此有?/?θ=0,圆周向流速uθ=0,径向流速ur=0 ,ux与x坐标无关。雷诺方程(2-4-2)可以简化为:
令r = r0处的壁面压强为pw(x),并对式(2-4-3a)积分,得到
u′r2,u′θ2沿x轴无变化,由上式得到
表明管道壁面压强沿流程变化率与管道截面中任意r值处的压强沿流程变化率相同。将此关系代入式(2-4-3c)并对r积分,得到:
积分式(2-4-3b)并利用边界条件r = r0时ur′uθ′=0,得到ur′uθ′=0定义J为单位长度内压强的降落,称为水力坡度:
式中γ=ρg,为流体的重度。于是由式(2-4-4)得:
定义剪切流速
用坐标y代替r,y轴垂直于管壁并指向管轴,其零点位于管壁上,于是得到r =r0- y。式(2-4-6)改写为:
上式为管道湍流时均的运动方程。由于ur′uθ′的分布需要实验才能确定,因此通常管道湍流的速度分布用经验性的指数公式表示:
指数n随雷诺数的不同而变化,表2-1和2-2是一些实验结果
根据式(2-4-8),得到湍流状态下管道截面上的平均流速如下:
管道流体湍流速度分布曲线如图2-3所示。
2.5幂律型非牛顿流体管流速度分布规律
幂律型非牛顿流体管道恒定流动的边界条件和牛顿流体的情况相同,流体根据幂律型非牛顿流体的本构方程式(2-2-10),有:
是平行直线运动,在圆柱坐标下进行分析,则ur=0,uθ=0,ux=u(r).幂律流体流场的里夫林-埃里克森张量等于:
根据幂律型非牛顿流体的本构方程式(2-2-10),有:
流场中的偏应力张量:
将ur=0,uθ=0,ux=u(r)代入圆柱坐标下的N-S方程(2-3-2)得到:
将式(2-5-2)代入上式,有:
积分上式,得到:
根据条件(du/dr=0)r=0,可知C2 =0.另外当管内流体由压强驱动时,dp/dx<0因此 C1<0, du/dx<0,于是:
利用管壁无滑移条件,对 r 积分求解上式,得到:
因此幂律型非牛顿流体在管道中的速度分布规律为:
式中最大流速为 r =0处的流速umax,且:
由上式得到管道截面上的平均流速为:
幂律型非牛顿流体在管道内的速度分布规律如图 2-4 所示。
当 n = 1 时,为牛顿流体的速度分布曲线;n = 2.3 时,为剪切变稠幂律型流体的速度分布曲线;n = 0.6 时,为剪切变稀幂律型流体的速度分布。
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