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标题: 单片机开平方的快速算法 [打印本页]

作者: liyf 时间: 2014-10-5 14:04
标题: 单片机开平方的快速算法
单片机开平方的快速算法

为工作的需要，要在单片机上实现开根号的操作。目前开平方的方法大部分是用牛顿
迭代法。我在查了一些资料以后找到了一个比牛顿迭代法更加快速的方法。
1.原理
因为排版的原因，用pow(X,Y)表示X的Y次幂，用B[0]，B[1]，...，B[m-1]表示一个序列，
其中[x]为下标。

假设：
B[x],b[x]都是二进制序列,取值0或1。
M = B[m-1]*pow(2,m-1) + B[m-2]*pow(2,m-2) + ... + B[1]*pow(2,1) + B[0]*pow
(2,0)
N = b[n-1]*pow(2,n-1) + b[n-2]*pow(2,n-2) + ... + b[1]*pow(2,1) + n[0]*pow
(2,0)
pow(N,2) = M

(1) N的最高位b[n-1]可以根据M的最高位B[m-1]直接求得。
设 m 已知,因为 pow(2, m-1) <= M <= pow(2, m)，所以 pow(2, (m-1)/2) <= N <=
pow(2, m/2)
如果 m 是奇数，设m=2*k+1,
那么 pow(2,k) <= N < pow(2, 1/2+k) < pow(2, k+1),
n-1=k, n=k+1=(m+1)/2
如果 m 是偶数，设m=2k,
那么 pow(2,k) > N >= pow(2, k-1/2) > pow(2, k-1),
n-1=k-1,n=k=m/2
所以b[n-1]完全由B[m-1]决定。
余数 M[1] = M - b[n-1]*pow(2, 2*n-2)

(2) N的次高位b[n-2]可以采用试探法来确定。
因为b[n-1]=1，假设b[n-2]=1，则 pow(b[n-1]*pow(2,n-1) + b[n-1]*pow(2,n-2),
2) = b[n-1]*pow(2,2*n-2) + (b[n-1]*pow(2,2*n-2) + b[n-2]*pow(2,2*n-4)),
然后比较余数M[1]是否大于等于 (pow(2,2)*b[n-1] + b[n-2]) * pow(2,2*n-4)。这种
比较只须根据B[m-1]、B[m-2]、...、B[2*n-4]便可做出判断，其余低位不做比较。
若 M[1] >= (pow(2,2)*b[n-1] + b[n-2]) * pow(2,2*n-4), 则假设有效，b[n-2] =
1；
余数 M[2] = M[1] - pow(pow(2,n-1)*b[n-1] + pow(2,n-2)*b[n-2], 2) = M[1] -
(pow(2,2)+1)*pow(2,2*n-4)；
若 M[1] < (pow(2,2)*b[n-1] + b[n-2]) * pow(2,2*n-4), 则假设无效，b[n-2] =
0；余数 M[2] = M[1]。

(3) 同理，可以从高位到低位逐位求出M的平方根N的各位。

使用这种算法计算32位数的平方根时最多只须比较16次，而且每次比较时不必把M的各位逐
一比较，尤其是开始时比较的位数很少，所以消耗的时间远低于牛顿迭代法。

2. 流程图
  (制作中，稍候再上)

3. 实现代码
这里给出实现32位无符号整数开方得到16位无符号整数的C语言代码。

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-

/****************************************/
/*Function: 开根号处理                */
/*入口参数：被开方数，长整型          */
/*出口参数：开方结果，整型             */
/****************************************/
unsigned int sqrt_16(unsigned long M)
{
unsigned int N, i;
unsigned long tmp, ttp; // 结果、循环计数
if (M == 0)             // 被开方数，开方结果也为0
      return 0;

N = 0;

tmp = (M >> 30);       // 获取最高位：B[m-1]
M <<= 2;
if (tmp > 1)             // 最高位为1
{
      N ++;                // 结果当前位为1，否则为默认的0
      tmp -= N;
}

for (i=15; i>0; i--)    // 求剩余的15位
{
      N <<= 1;             // 左移一位

      tmp <<= 2;
      tmp += (M >> 30);    // 假设

      ttp = N;
      ttp = (ttp<<1)+1;

      M <<= 2;
      if (tmp >= ttp)    // 假设成立
      {
         tmp -= ttp;
         N ++;
      }

}

return N;
}

作者: 李小路 时间: 2021-7-11 18:34
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