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标题: 非均匀采样的理论基础 [打印本页]

作者: liyf 时间: 2012-1-16 17:14
标题: 非均匀采样的理论基础

　　非均匀采样有很多种，一般来说只要采样间隔不是恒定的，就可以认为是非均匀采样，但是对于大多数非均匀采样其并不具有特别的性能。本案例研究的非均匀采样特指两种情况：随机采样和伪随机采样。随机采样中每个采样点的选择是完全随机的，是理想化的非均匀采样；伪随机采样中每个采样点的选择是经过挑选的伪随机数。非均匀采样的一个很大的优点就是它具有抗频率混叠的性能，从而可以突破奈奎斯特频率的限制，实现以比较低的采样频率检测到很高频率的信号。
　　采样时刻的选择无疑是非常重要的，它决定了采样后得到的信号的性质。时钟抖动的均匀采样在工程实践中是普遍存在的，并且是不可避免的，例如AD时钟频率存在一定偏差。有抖动的均匀采样时刻{tk}，其数学表达式为：

　　其中，{Tk}为服从同分布的一组随机变量，其值恒为正。设Tk的概率密度函数为PT(Tk)其均值为u，由于tk＝t0+T1+T2+…+Tk，故Pk(t)=pk-1(t)*PT(T)。根据中心极限定理，对于一组相互独立随机变量，当随机变量的个数大到一定程度的时候，它们的总和服从正态分布，因此当K→∞时，Pk（t）将趋向于正态分布。当t增加时，加性非均匀采样点的概率分布P（t）将趋向于平坦，其数值大小为l/μ，如图1所示。

　图2 混叠的产生
　　观察图2，就会清楚发现其他的频率的正弦信号和原始信号同一个采样点处的采样值相等（曲线交点处）。因此，如果要用这组采样值进行重建原始信号，显然得到的信号不是惟一的。也就是说，用小于奈奎斯特频率的采样频率进行采样，得到的采样值是无法恢复出原始信号，这与ShannON采样定理是相一致的。这种现象反映到频域上就是频率混叠。
　　频率混叠现象就会引起信号的不确定，仔细看这些不同频率的正弦波，到底哪个才是真的需要的信号昵？在没有其他先验知识的情况下，如何消除频率混叠现象是信号处理理论的一个重要研究课题。均匀采样理论中，在进行信号采样前，信号先通过一个低通滤波器以便把信号的频谱限制在一个特定的范围内，然后用高于信号最高频率两倍的采样频率进行采样，从而消除了频率混叠。虽然这种解决混叠问题的方法能够满足要求，但是这种方法滤掉了信号组成成分中超过某一频率的频率成分，很容易造成失真，同时由于采样频率要高于信号最高频率的两倍，极大限制了数字信号处理理论使用的范围。如果能突破这个限制，将为数字信号处理理论开辟更为广泛的应用领域。所以摆在面前的问题就是在较低采样频率的情况下，消除频率混叠是否可能？非均匀采样给出了肯定的回答。
　　图3直观地说明了非均匀采样如何具有消除混叠的性能。

　　均匀采样信号的离散傅立叶变换就是将上式的积分换成求和累加的形式，均匀采样情况下采样时间间隔相等，也就是每个采样时间段的宽度相等，均匀采样信号的离散傅立叶的数学表达式如下。

　　NDFT和DFT的区别在于NDFT每个采样时间段的积分区间的宽度不等。均匀采样中，求和区间为等间隔T，所以均匀采样的采样信号各个频谱的大小和T成比例关系，在计算频谱时是否引人常数T都不影响频谱的检测。而在非均匀采样中，求和区间为不等间隔（tn+1-tn），所以必须引入采样间隔这个变量，如上式中的（tn+1-tn）。
　　均匀采样信号的傅立叶变换算法根据傅立叶变换因子的对称性，可以实现快速傅立叶变换。非均匀采样的傅立叶变换由于采样时间间隔的不等，使得非均匀快速傅立叶变换很难旱接实现。
　　如果信号f（t）满足下列条件：（1）f（t）绝对可积，即

　　当f（t）经过均匀采样后，得到离散序列f(nT)，其中T为采样周期。用f(n)代表f(nT），则序列f(n）的离散时间傅立叶变换表示如下：

　　其中，FP（ejω）为采样后得到的离散序列的频谱，T为采样周期，ωs为采样频率（角频率）。
　　当采用非均匀采样时，得到的离散序列为f(tk），其中tk表示采样时刻。直接套用均匀采样的离散时间傅立叶变换，可以得到以下公式：

　　如果p(t)在信号持续时间上服从均匀分布，即

　　式中，f0＝200Hz，f1＝700Hz，f2＝1100Hz，t是采样时间。在均匀采样下，若采样频率为1000Hz，采样点数为1024，对采样后的信号做傅立叶变换得到信号频谱，如图4所示。图中f0、f1以及f2都有对应的混叠信号f0（800和1200Hz）、f1 （300和1300flz）以及f2（100和900Hz），与采样定理的描述相一致。
　　设置非均匀采样的采样时间函数如下。

??????????????????? ????????

?????? 　　图4 均匀采样的信号频谱????????????????????????????????????????????????????????????????????? ?图5 非均匀采样的信号频谱
　　比较图4和图5可见，图4中的混叠信号在图5中不再出现，图5中在整个频段都出现幅值较小的随机噪声（噪声的平均幅值约为信号幅值的10％）。这是因为，在均匀采样下混叠信号集中于一些和真实信号相关的点，而非均匀采样混叠信号均匀地分布到所有的频率段上，从而最大程度上降低了混叠信号的幅值，不再影响真实信号的检测。此外，图5中的频谱噪声分布是和采样时间相关的，由于采样时间是完全随机的，所以其分布也是完全随机的。
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