基于多普勒方法的管道流量测量研究----管道流体流动的速度分布规律（二）

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2.4牛顿流体管道湍流速度分布规律
          湍流具有随机性质，湍流中的各种物理量均是随机函数，需要用统计的方法对湍流进行研究。通常湍流是各态遍历的，可以采用时间平均法处理湍流运动。
       
        粘性流体流动的N-S方程和连续方程对于湍流的瞬时运动同样适用，与层流分析方法一样，在圆柱坐标下对管道湍流进行研究，并对式（2-3-1）取时间平均，得到圆柱坐标系中不可压缩流体的时间平均连续方程：
       
         
        同样对圆柱坐标中的N-S方程取时间平均得到不可压缩流体湍流时均的运动方程，称为雷诺方程：
         
           
          式中γ表示物理量γ的时间平均值，γ′表示物理量γ的脉动量，F表示质量力。为简化分析，忽略质量力F的影响，假设流动为充分发展的恒定湍流，流体轴对称，因此有?/?θ=0，圆周向流速uθ=0，径向流速ur=0 ，ux与x坐标无关。雷诺方程（2-4-2）可以简化为：
         
           
          令r = r0处的壁面压强为pw（x），并对式（2-4-3a）积分，得到
       
         
        u′r2，u′θ2沿x轴无变化，由上式得到
           
          表明管道壁面压强沿流程变化率与管道截面中任意r值处的压强沿流程变化率相同。将此关系代入式（2-4-3c）并对r积分，得到：
       
         
        积分式（2-4-3b）并利用边界条件r = r0时ur′uθ′=0，得到ur′uθ′=0定义J为单位长度内压强的降落，称为水力坡度：
       
         
        式中γ=ρg，为流体的重度。于是由式（2-4-4）得：
         
       
        定义剪切流速
         
           
          用坐标y代替r，y轴垂直于管壁并指向管轴，其零点位于管壁上，于是得到r =r0- y。式（2-4-6）改写为：
       
        上式为管道湍流时均的运动方程。由于ur′uθ′的分布需要实验才能确定，因此通常管道湍流的速度分布用经验性的指数公式表示：
         
          指数n随雷诺数的不同而变化，表2-1和2-2是一些实验结果
         
         
       
        根据式（2-4-8），得到湍流状态下管道截面上的平均流速如下：
         
         
       
        管道流体湍流速度分布曲线如图2-3所示。
         
        2.5幂律型非牛顿流体管流速度分布规律
          幂律型非牛顿流体管道恒定流动的边界条件和牛顿流体的情况相同，流体根据幂律型非牛顿流体的本构方程式（2-2-10），有：
         
       
        是平行直线运动，在圆柱坐标下进行分析，则ur=0，uθ=0，ux=u（r）.幂律流体流场的里夫林－埃里克森张量等于：
       
         
        根据幂律型非牛顿流体的本构方程式（2-2-10），有：
         
         
       
        流场中的偏应力张量：
         
           
          将ur=0，uθ=0，ux=u（r）代入圆柱坐标下的N-S方程（2-3-2）得到：
         
         
       
        将式（2-5-2）代入上式，有：
         
           
          积分上式，得到：
         
           
          根据条件（du/dr=0）r=0，可知C2 =0.另外当管内流体由压强驱动时，dp/dx<0因此 C1<0， du/dx<0，于是：
       
       
           
          利用管壁无滑移条件，对 r 积分求解上式，得到：
       
       
           
          因此幂律型非牛顿流体在管道中的速度分布规律为：
       
       
           
          式中最大流速为 r =0处的流速umax，且：
       
         
        由上式得到管道截面上的平均流速为：
         
           
          幂律型非牛顿流体在管道内的速度分布规律如图 2-4 所示。
         
          当 n = 1 时，为牛顿流体的速度分布曲线；n = 2.3 时，为剪切变稠幂律型流体的速度分布曲线；n = 0.6 时，为剪切变稀幂律型流体的速度分布。