基于载流导线循迹智能车的数学模型

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地面上铺设载流导线，通以一定频率和幅值的周期性交变电流，作为引导智能车行进的迹线。用大电感作为传感器，配以一定的电路，获得相应的电压。这是一种较新的循迹方式，在第五届“飞思卡尔”杯全国大学生智能车竞赛上出现。目前有两种主要的迹线信息解算方法，一是通过整流滤波之后查表，使电压与距离对应;二是用一排密集电感作为传感器，靠近迹线的电感显高电压，远离迹线的显低电压。由于大赛之前尚无精确的数学模型求解迹线信息，本文将试图向这方面努力。
　　1.传感器排布与赛道信息解算的数学模型
　　假设载流导线无限长直，电流为()it 。不妨假设电感为理想电感，即空间尺寸可忽略不计，电感铁芯工作在线性区[1]。
　　空间一点某一方向上的磁感应强度为()Bt，由毕奥--萨伐尔定律[2]得 其中K由空间位置决定， 不妨将K称为空间函数，电感不同的放置方式，对应不同的K。若迹线为无限长直的导线，则相同的电感放置方式下，K的表达式不变。

  
　　设()et为电感的开路感应电动势，由法拉第电磁感应定律[3]得：
　　，其中LK由电感的参数决定，是常数。
　　将 进行拉氏变换得 其中

将 进行拉氏变换得 其中

将电感到A/D转换之间的电路设计为线性时不变系统，设其传递函数 则

在小车起跑前测得

在小车起跑后测得

式(2)除以(1)得

发现电路的传递函数和电流等与空间函数无关的项都被消去了。对于不同的电感排布方式，只要先得出空间函数K，然后运用该方法就能得出其对应的迹线信息解算表达式。这也正是本文要做的工作。为方便起见，将该方法称为“法一”。



       这种方法有几个优点：一是表达式与电路传递函数无关，即与电路无关，这就使得电路设计从理论上讲极其简单，只需满足线性时不变;二是表达式与赛道电流无关，这就使得该方法推导的模型从理论上讲具有极强的适应性;三是该方法推导的模型运用起来简单高效。
　　1.1 双一电感测距
　　如图1，两电感A和B水平放置，二者轴线与x轴平行，相距l，离地高度h。记
下面将用到文献[4]的方法，以避免开根号。
　　A电感的变量用下标A表示，B电感的变量用下标B表示。

  
　　为了方便运用法一，不妨令
　　显然 , 易得 ,
　　那么 ，其中

不妨假设θ较小，可以忽略。则

同理得 22BBBKUhl=+，其中

联立(3)、(4)、(5)，解得 注意Al是有正负的。
　　实验数据如表1。所有单位均为标准点位，电压是示波器读取的峰峰值，误差是未取绝对值的相对误差。
　　结论：除第二组外，其他组的误差都小于10%，大部分小于5%，且与赛道无明显关系。说明该数学模型正确，同时也佐证了法1.1的正确性。
　　1.2 双水平正交电感测距、测方向
　　如图2所示，两电感xL和xL相互垂直。图3为俯视图，xL和yL置于原点o，xL和yL的轴向分别与x和y轴重合，o距地面高度为h，导线与y轴夹角为γ。xL和yL的相关变量分别以下标x和y表示。注意，xL和yL各自的电路传递函数是不相同的，下文会将其校正。
　　易得xL和yL的空间函数分别为

令00γ≠，运用法一可得

  
为了消除两个电路的差异，对(6)两边同乘以 得：

记

对(7)两边同乘以0()yUs得：

记向量 。那么U
　　的方向为 ，正是载流导线的水平垂直方向，我们用它来判断载流导线的走势;而由 得
  

1.3 单竖直电感测距
　　如图4，电感竖直放置，离地高度h。易得

令 运用法一得 其中

对于上述三个模型，我们可以测量一些有代表性的特征量。值得注意的是U0(s)好比一个基准时钟，是有相位的，但U0(s)和U(s)的相位必然相差0度或180度，具体原因笔者尚不清楚。若电路的输出电压无鉴相功能，如峰峰值、有效值、整流滤波输出值等只有正值，1.1的模型不需担心该问题，因为小车行进过程中U0(s)和U(s)始终同相，1.2则需通过其他算法判断导线在小车的左还是右，γ是正还是负，1.3也无法判断迹线在左还是右。
　　两个结论
　　以上推导是建立在无限长直导线的基础上的，但赛道是任意形状的，且电感会随着小车摆动，在这种情况下，上述几个数学模型是否还能适用呢?请看以下两个结论。
　　结论一：有限长直导线的K也是常数，故对于有限长直导线的循迹，仍可使用上述模型，当然精度会有所下降。对于任意形状的导线，导线可看作无数段有限长直导线的叠加[5]，所以可以使用上述模型。
　　结论二：对于任意放置的电感，从导线电流到电路输出电压之间的传递函数，只有K不同，其他部分是一样的。所以小车行进过程中即使有摇摆，仍可使用上述模型。