快速傅里叶变换(FFT)结果的物理意义

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FFT是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换到频域。有些信号在时域上是很难看出什么特征的，但是如果变换到频域之后，就很容易看出特征了。这就是很多信号分析采用FFT变换的原因。另外，FFT可以将一个信号的频谱提取出来，这在频谱分析方面也是经常用的。
           
          虽然很多人都知道FFT是什么，可以用来做什么，怎么去做，但是却不知道FFT之后的结果是什么意思、如何决定要使用多少点来做FFT。现在就根据实际经验来说说FFT结果的具体物理意义。一个模拟信号，经过ADC采样之后，就变成了数字信号。采样定理告诉我们，采样频率要大于信号频率的两倍，这些我就不在此罗嗦了。
           
          采样得到的数字信号，就可以做FFT变换了。N个采样点，经过FFT之后，就可以得到N个点的FFT结果。为了方便进行FFT运算，通常N取2的整数次方。
           
          假设采样频率为Fs，信号频率F，采样点数为N。那么FFT之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率点。这个点的模值，就是该频率值下的幅 度特性。具体跟原始信号的幅度有什么关系呢？假设原始信号的峰值为A，那么FFT的结果的每个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。而 第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。而每个点的相位呢，就是在该频率下的信号的相位。第一个点表示直流分量（即0Hz），而最后一个点N 的再下一个点（实际上这个点是不存在的，这里是假设的第N+1个点，也可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到最后）则表示采样频率Fs，这中间被 N-1个点平均分成N等份，每个点的频率依次增加。例如某点n所表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N。由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到频率为 为Fs/N，如果采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，则可以分辨到1Hz。1024Hz的采样率采样1024点，刚好是1秒，也就是说， 采样1秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到1Hz，如果采样2秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到0.5Hz。如果要提高频率分辨力，则必须 增加采样点数，也即采样时间。频率分辨率和采样时间是倒数关系。
           
          假设FFT之后某点n用复数a+bi表示，那么这个复数的模 就是An=根号a*a+b*b，相位就是Pn=atan2(b,a)。根据以上的结果，就可以计算出n点（n&ne;1，且n<=N/2）对应的信号的表 达式为：An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。对于n=1点的信号，是直流分 量，幅度即为A1/N。
           
          由于FFT结果的对称性，通常我们只使用前半部分的结果，即小于采样频率一半的结果。
           
          好了，说了半天，看着公式也晕，下面以一个实际的信号来做说明。
           
          假设我们有一个信号，它含有2V的直流分量，频率为50Hz、相位为-30度、幅度为3V的交流信号，以及一个频率为75Hz、相位为90度、幅度为1.5V的交流信号。用数学表达式就是如下：
          S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)
          式中cos参数为弧度，所以-30度和90度要分别换算成弧度。我们以256Hz的采样率对这个信号进行采样，总共采样256点。按照我们上面的分 析，Fn=(n-1)*Fs/N，我们可以知道，每两个点之间的间距就是1Hz，第n个点的频率就是n-1。我们的信号有3个频率：0Hz、50Hz、 75Hz，应该分别在第1个点、第51个点、第76个点上出现峰值，其它各点应该接近0。实际情况如何呢？我们来看看FFT的结果的模值如图所示。
           

       
        FFT的结果

           
        从图中我们可以看到，在第1点、第51点、和第76点附近有比较大的值。我们分别将这三个点附近的数据拿上来细看：
          1点： 512+0i
          2点： -2.6195E-14 - 1.4162E-13i
          3点： -2.8586E-14 - 1.1898E-13i
          50点：-6.2076E-13 - 2.1713E-12i
          51点：332.55 - 192i
          52点：-1.6707E-12 - 1.5241E-12i
          75点：-2.2199E-13 -1.0076E-12i
          76点：3.4315E-12 + 192i
          77点：-3.0263E-14 +7.5609E-13i
           
          很明显，1点、51点、76点的值都比较大，它附近的点值都很小，可以认为是0，即在那些频率点上的信号幅度为0。接着，我们来计算各点的幅度值。分别计算这三个点的模值，结果如下：
          1点： 512
          51点：384
          76点：192
           
          按照公式，可以计算出直流分量为：512/N=512/256=2；50Hz信号的幅度为：384/(N/2)=384/(256/2)=3；75Hz信号的幅度为192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可见，从频谱分析出来的幅度是正确的。
           
          然后再来计算相位信息。直流信号没有相位可言，不用管它。先计算50Hz信号的相位，atan2(-192, 332.55)=-0.5236,结果是弧度，换算为角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再计算75Hz信号的相 位，atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708弧度，换算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002。可见，相位也是对的。根据FFT结果以及上面的 分析计算，我们就可以写出信号的表达式了，它就是我们开始提供的信号。
           
          总结：假设采样频率为Fs，采样点数为N，做FFT之 后，某一点n（n从1开始）表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N；该点的模值除以N/2就是对应该频率下的信号的幅度（对于直流信号是除以N）；该 点的相位即是对应该频率下的信号的相位。相位的计算可用函数atan2(b,a)计算。atan2(b,a)是求坐标为(a,b)点的角度值，范围从 -pi到pi。要精确到xHz，则需要采样长度为1/x秒的信号，并做FFT。要提高频率分辨率，就需要增加采样点数，这在一些实际的应用中是不现实的， 需要在较短的时间内完成分析。解决这个问题的方法有频率细分法，比较简单的方法是采样比较短时间的信号，然后在后面补充一定数量的0，使其长度达到需要的 点数，再做FFT，这在一定程度上能够提高频率分辨力。具体的频率细分法可参考相关文献。
        [附录：本测试数据使用的matlab程序]
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          Adc=2; %直流分量幅度
          A1=3; %频率F1信号的幅度
          A2=1.5; %频率F2信号的幅度
          F1=50; %信号1频率(Hz)
          F2=75; %信号2频率(Hz)
          Fs=256; %采样频率(Hz)
          P1=-30; %信号1相位(度)
          P2=90; %信号相位(度)
          N=256; %采样点数
          t=[0:1/Fs:N/Fs]; %采样时刻
          %信号
          S=Adc+A1*cos(2*pi*F1*t+pi*P1/180)+A2*cos(2*pi*F2*t+pi*P2/180);
          %显示原始信号
          plot(S);
          title('原始信号');
          figure;
          Y = fft(S,N); %做FFT变换
          Ayy = (abs(Y)); %取模
          plot(Ayy(1:N)); %显示原始的FFT模值结果
          title('FFT 模值');
          figure;
          Ayy=Ayy/(N/2); %换算成实际的幅度
          Ayy(1)=Ayy(1)/2;
          F=([1:N]-1)*Fs/N; %换算成实际的频率值
          plot(F(1:N/2),Ayy(1:N/2)); %显示换算后的FFT模值结果
          title('幅度-频率曲线图');
          figure;
          Pyy=[1:N/2];
          for i="1:N/2"
          Pyy(i)=phase(Y(i)); %计算相位
          Pyy(i)=Pyy(i)*180/pi; %换算为角度
          end;
          plot(F(1:N/2),Pyy(1:N/2)); %显示相位图
          title('相位-频率曲线图');